maandag 4 juni 2012

Real life rekenles

Hier op de site van uitgeverij Zwijsen  is een link te vinden naar een online rekenles met Dolores Leeuwin (bekend van Het Klokhuis) en Martin Bootsma (verkozen tot Leerkracht van het jaar). Zij gebruiken daarvoor een aantal bladen van Real Life Rekenen. Aan de boekjes Exact voor groep 8 hebben een aantal van Geeke's studenten meegewerkt. Een mooie samenwerking waarbij deze beta leraren in opleiding kennis konden maken met de inhoud en manier van werken in het primair onderwijs en waar ze andersom met hun werkbladen een tipje van de sluier lichten van hun vakken in het voortgezet onderwijs.

donderdag 24 mei 2012

Phil Daro tegen "answer getting"

In een filmpje van Phil Daro op Vimeo legt hij uit dat hem in de analyse van lessen in Amerika en Japan een subtiel, maar wezenlijk verschil opviel in de aanpak van de docent.

Aan het begin van zijn lezing zegt hij daarover: "It took years for me to finally see the obvious".

Hij beschrijft dit verschil als
  • In Amerika: "How can I teach my kids to get the answer to this problem?"
  • In Japan: "How can I use this problem to teach the mathematics of this unit?"
Deze verschillen blijken onafhankelijk van het talent van de docent en bovendien ook onafhankelijk van het type onderwijs dat de docent volgt (traditioneel of meer reform)

Verder gaat hij in op de vraag waarom leerlingen vraagstukken/problemen moeten oplossen. Hij benadrukt dat antwoorden een deel van het proces zijn en niet het produkt. Het produkt is de wiskundige kennis en know-how van de leerling. Natuurlijk is de correctheid van het antwoord ook een belangrijk deel van het proces.

Een andere interessante gedachte in Daro's betoog is de rol van foute antwoorden. Door te bedenken waarom het antwoord fout is, is het makkelijker tot de wiskunde te komen, dan wanneer een antwoord goed is, geeft hij aan. Daarnaast vertelde hij over een verwijt die een Japanse docent hen maakte over de Amerikaanse manier van lesgeven. Deze docent gaf aan dat in Amerika, een fout wordt gezien als het probleem van de leerling die die fout maakt, dat moet gediagnosticeerd en opgelost. In plaats daarvan kun je de foute aanpak ook zien als 'de kanarie in de mijn', als iets dat iedereen in de klas kan overkomen. Erover praten waarom het fout is zal ook de kennis van die leerlingen die het goede antwoord snel wisten verder verdiepen is de redenering.

Hij besluit met te zeggen dat er van alles aan het curriculum wordt toegevoegd, daarmee doelt hij op 'answer getting methods' en dat daarnaast van alles wordt weggelaten en daarmee doelt hij dan op de wiskunde.

zondag 18 maart 2012

Procenten deel 5: de eenheid

Voor het rekenen met procentuele toename of afname wordt er vaak gewerkt met contexten waarin de tijd een rol speelt. Het uitrekenen van de toename voldoet dan aan een formule als
percentuele toename =  nieuw - oud / oud
(als je tenminste vooruit in de tijd kijkt..)

Vaak ligt het echter wat ingewikkelder dan het rekenen met deze formule. Bijvoorbeeld de opgave uit de eerste post in deze reeks.
Een winkelier verhoogt vlak voor de uitverkoop de prijs van een product met 20% om in de uitverkoop de prijs met 20% te verlagen zonder dat hij toe moet leggen op de oorspronkelijke prijs. Lukt dat zo?
Wat 'nieuw' is blijft hier niet 'nieuw'. Daarnaast zijn er veel situaties waar 'nieuw' en 'oud' weinig tot geen betekenis hebben zoals bij het berekenen van BTW.
Uit je hoofd leren van de formule (wat lastig is want je haalt makkelijk dingen door elkaar) heeft dus eigenlijk niet zoveel zin.

Uiteindelijk is de kern dat je bij procenten in de gaten moet houden wat de referentie hoeveelheid is. Dat is de eenheid specifiek voor de context. Daarnaast heb je met procenten ook altijd met 100% als eenheid te maken. Eigenlijk creeer je met procenten voor elke context een specifieke dubbele schaal. Bijvoorbeeld als de referentie hoeveelheid 500 is:


Zonder te rekenen kun je dus beredeneren dat het 'plannetje' van onze winkelier niet werkt. Immers in het eerste geval wordt 20% genomen van een lager bedrag dan de tweede keer. Er komt dus minder bij dan eraf gaat.

Bewustzijn van de eenheid maakt het makkelijker om te herkennen wanneer je door een factor moet delen of vermenigvuldigen, zoals bij het rekenen met BTW; onderwerp van de volgende en laatste post in deze serie.

Tenslotte nog een reclame filmpje waarin ze proberen te visualiseren hoe veel 14% is. De vraag is of je in dit soort situaties geïnteresseerd bent in de absolute of relatieve hoeveelheid; een klein percentage van veel kan nog steeds veel zijn...



Deze post is onderdeel van een serie over procenten:

Deel 1: opgaven (over een aantal mooie introductie opgaven)
Deel 2: strategieën verbinden (over via lager percentage rekenen naar rekenen met een factor)
Deel 3: structuur (over de structuur h / r = f )
Deel 4: procentuele toe- en afname (over overgang van additieve naar multiplicatieve strategie)
Deel 5: eenheid (over de tenminste twee eenheden die een rol spelen)

woensdag 14 maart 2012

Pi-dag

14 maart (3-14): Pi-day.

Kate Bush zong de Pi-song


Ter ere van Pi-day heb ik een nieuw board op Pinterest gemaakt:

donderdag 8 maart 2012

Wetenschap 101

Vandaag ontdekte ik een videoblog die net is gestart: wetenschap 101.
Het idee is om in filmpjes van maximaal 101 seconden een onderwerp uit de (beta) wetenschap toe te lichten. Het is een initiatief van Ionica Smeet en Govert Schilling, die respectievelijk uit de wiskunde en sterrenkunde hun inspiratie halen.

Gezien de lengte van de filmpjes zouden ze ideaal kunnen zijn in de start van een les.

Ik vond het volgende filmpje over een kaart truc in ieder geval erg leuk:

http://wetenschap101.nl/waarom-werkt-deze-truc-altijd/

dinsdag 6 maart 2012

Faculteit

Op internet vonden we het volgende filmpje waar faculteit de hoofdrol speelt.


De uitleg wordt gedaan aan de hand van het vullen van een boekenplank. Eerst met drie boeken en dan met 10. Daarna wordt er een verrekening naar tijd gemaakt; 116 jaar om alle mogelijke arrangements neer te zetten (bij 3 min per arrangemet, 30 uur per week, en 52 weken per jaar).

zaterdag 3 maart 2012

21022012

21 februari j.l. was een bijzondere dag: 21022012. Bijzonder omdat het nog niet zo vaak voorkomt dat een datum zo symmetrisch is, een palindroom.

In 2012 gaat het niet meer lukken. En in 2013, dan zouden we 31 februari moeten hebben, dat kan niet. Verder zoeken dan: 2014, 2015, 2016, 2017, 2018, 2019 zijn allemaal jaren zonder palindroom. Want een datum die begint met 41, 51, 61, 71, 81, 91 lukt niet.

Maar dan 2020: dat is weer een jaar met een palindroom! Op 2 februari 2020 is het weer een bijzondere dag. Dat kunnen we vast in de agenda zetten!


Datum

Palindroom

12 februari 2021
12022021
22 februari 2022
22022022
3 februari 2030
03022030
13 februari 2031
13022031
23 februari 2032
23022032
4 februari 2040
04022040
14 februari 2041
14022041
24 februari 2042
24022042
5 februari 2050
05022050
15 februari 2051
15022051
25 februari 2052
25022052
… enz…


Wanneer was de vorige palindroom? Even terugrekenen geeft een aantal palindromen dichtbij:


Datum

Palindroom

11 februari 2011
11022011
1 februari 2010
01022010
20 februari 2002
20022002
10 februari 2001
10022001

 Het bijzondere is dat we voor het palindroom voor 2001 ver terug moeten in de geschiedenis. Want in de jaren 1900, 1800, enzovoorts waren er geen palindromen, want er zijn geen maanden met nummer 91, 81 enzovoorts. Het palindroom voor 2001 was maar liefst in 1192, op 29 november. Dat is dus heel ver terug!

Procenten deel 4: procentuele toe- en afname

In de tweede post hebben we laten zien dat een belangrijke stap voor het rekenen met procenten in het voortgezet onderwijs is om de 1% strategie (zoals we hem voor het gemak hebben genoemd) te verbinden met het zien van procentrekenen als rekenen met factoren. In de vorige post hebben we meer naar de structuur van die factor gekeken en de procent benoemd als het relatief en gestandaardiseerd vergelijken van hoeveelheden.

In deze post besteden we aandacht aan een andere belangrijke stap: het zien van een percentuele toe- of afname in termen van het vermenigvuldigen met een factor. Aanvankelijk zullen leerlingen namelijk vaak als ze een toename moeten berekenen de toename apart berekenen en die daarna bij de oorspronkelijke hoeveelheid optellen. Bijvoorbeeld:

Vorig jaar zaten er 400 leerlingen op school. Dit jaar zijn dat er 25% meer.
Je rekent dan 25% van 400 uit, dat is 100. Dit jaar zijn er dan 400+100=500 leerlingen.
Je zou toe willen naar 1.25 x 400 = 500.
 Ik heb gemerkt dat het leerlingen helpt om te laten zien hoe deze twee manieren van rekenen samenhangen; ze de structuur te laten zien. Immers,

0.25 x 400 + 400 = 0.25 x 400 + 1 x 400 = 1.25 x 400.
Hetzelfde kun je doen voor procentuele afname; Bij een afname van het aantal leerlingen met 25% kan eerst de absolute afname worden berekend, die dan vervolgens wordt afgetrokken van het oorspronkelijke aantal, maar kan ook in één keer met een factor worden gerekend.

400 - 0.25 x 400 = 1 x 400 - 0.25 x 400 = 0.75 x 400
Je zou kunnen zeggen dat je van een additieve benadering naar een multiplicatieve benadering gaat.

Nu zijn er altijd leerlingen die deze multiplicatieve manier geen meerwaarde vinden hebben. Mijn ervaring is dat het volgende voorbeeld veel overredingskracht heeft. Ik laat ze uitrekenen wat het saldo op een rekening is na een jaar met een gegeven beginsaldo en rentepercentage. Dan van de eerste twee jaar. En dan ... over 30 jaar.

Een veel voorkomend type opgave bij dit onderwerp is het omgekeerde: namelijk om uit te rekenen om hoeveel procent toe- of afname het gaat. Ook dan kun je de additieve en multiplicatieve strategie aan elkaar koppelen. Bijvoorbeeld:

Het aantal leerlingen op een school neemt toe van 400 naar 440 leerlingen.
- Je kunt eerst de absolute toename berekenen: 40 leerlingen en dat omzetten in een percentage: 40 / 400 = 10 / 100 = 10%
- Je kunt er ook voor kiezen om die 440 te relateren aan de 400: 440 / 400 = 1,1. De 1 geeft de oorspronkelijke hoeveelheid van 400 leerlingen weer en daar komt dus 10% (of 0,1 deel) bij.
 Het aantal leerlingen op een school neemt af van 400 naar 380 leerlingen.
-Je kunt eerst de absolute afname berekenen (20 leerlingen) en dat omzetten in een percentage: 20 / 400 = 5 / 100 = 5%
-Je kunt berekenen welk deel 380 van 400 is: 380 / 400 = 0.95. De afname is dan 0.05 of 5%, immers de eenheid (1) is hier 400 leerlingen. 
Hier komt duidelijk naar voren dat je een absolute afname en een relatieve afname hebt. Het is soms jammer dat deze termen vaak later bij wiskunde worden gebruikt omdat ze voor leerlingen veel duidelijk kunnen maken. Ook speelt bij procentuele afname nog wel eens wat gerommel met de min, dat wordt duidelijker als leerlingen de structuur doorzien.

De multiplicatieve factor heeft niet alleen als voordeel dat het de weg opent naar opgaven als het berekenen van 30 jaar rente (op rente). Het kan ook gebruikt worden voor een discussie over de volgorde van bewerkingen.  De voorbeeld opgave uit de eerste post:
Een toerist koopt een souvenir in een winkel. Bij de kassa vraagt hij om eerst de teruggave van de BTW te berekenen en dan pas de sales-korting van 20%; hij krijgt dan meer BTW terug en is daarmee goedkoper uit is zijn redenering. Heeft de klant gelijk?
heeft nu een makkelijke oplossing: je vermenigvuldigt het bedrag eerst met de BTW factor en dan de kortingsfactor en dat geeft hetzelfde resultaat als eerst met de kortingsfactor vermenigvuldigen en dan de BTW factor.

Een andere manier om naar de opgave te kijken is om het begrip eenheid expliciet te maken. Dat wordt onderwerp van de volgende post in deze serie.

Deze post is onderdeel van een serie over procenten:

Deel 1: opgaven (over een aantal mooie introductie opgaven)
Deel 2: strategieën verbinden (over via lager percentage rekenen naar rekenen met een factor)
Deel 3: structuur (over de structuur h / r = f )
Deel 4: procentuele toe- en afname (over overgang van additieve naar multiplicatieve strategie)

donderdag 1 maart 2012

Interview met Dirk Huylebrouck

In VPRO's Labyrinth een interview met de Vlaamse wiskundige Dirk Huylebrouck voordat hij een presentatie zal geven op de Nederlandse Wiskunde Olympiade.

Hij vertelt onder andere over wat voor hem wiskunde is.

Hieronder de uitzending:

maandag 27 februari 2012

Waar is mijn water..

Het is ontzettend lastig om echt leuke apps voor kinderen te vinden die ook nog een zeker educatief doel dienen. Misschien ben ik vanuit mijn beroepsdeformatie ook wel veel te kritisch.... Alleen maar antwoorden op een rijtje sommen geven vind ik bijvoorbeeld niet veel meerwaarde hebben boven wat al op papier kan.

Laatst kwam ik een aardige app tegen. Het heet Where's my water en is van Disney. Naast logisch nadenken komt er ook wat natuurkundige kennis om de hoek (bv zwaartekracht en communicerende vaten). Het is de bedoeling dat je bij dit spel een weg van het water naar de douche van Swampy de krokodil vrij maakt.

De link naar de site waar meer over deze app te vinden is heb ik ook op onze Pinterest pagina gezet. Voor mensen die Pinterest niet kennen: dit is een website waarop je bij je profiel een soort moodboards aan kunt maken. Al surfend op internet kun je interessante afbeeldingen 'pinnen' / op één van je borden zetten. Elk bord geeft daarmee een overzicht over wat je hebt gevonden over een bepaald onderwerp. Het idee van Pinterest is onder andere dat je op deze manier mensen kunt vinden met ongeveer dezelfde smaak en interesses en zo gebruik kunt maken van de links die die ander heeft gevonden. Het voordeel van Pinterest vind ik vooral dat het werkt met afbeeldingen, wat voor mij zoeken snel maakt.

Een link naar onze Pinterest pagina is te vinden onder de rode knop bovenaan met een P erin. Onze borden zijn nog niet zo gevuld, daar werken we nog hard aan, maar nu ziet het er ongeveer zo uit:

zondag 26 februari 2012

Batje en balletje

In het maandoverzicht van februari van "de TV draait door" een wiskundesom.....

Een pingpongbatje en balletje kosten samen 1,10 euro. Het batje is een euro duurder dan het balletje. Wat kost het balletje?

Een gast van Harry Mens geeft het antwoord.....


Fragment begint bij 4:08 (rechtstreekse link naar begin fragment)

maandag 20 februari 2012

Procenten deel 3: structuur

Sommen over procenten hebben vaak één van de volgende vormen of varianten daarop:
  • 40 % = . . . .
    een decimaal getal 0,4 of een breuk 2/5
  • 10 % van 500 =
    uitrekenen van een deel van een geheel
  • hoeveel procent is 70 van de 200?     
    deel-geheel omzetten in percentage
  • 20 mensen, dat is 50% van het totaal. Totaal?             
    terugrekenen naar 100 %
  • Hoeveel is de prijs zonder BTW?                                
    terugrekenen naar 100 %
  • de prijs is eerst 80 en nu 100. Hoeveel procent erbij? 
    procentuele toe- of afname bepalen
  • Je krijgt 2,6 % rente op 300 euro. Hoeveel is dat? 
    toe- of afname berekenen 
Vaak staan deze sommen een beetje los van elkaar en is er weinig aandacht voor de wiskundige structuur die onder het rekenen met procenten ligt en die deze sommen met elkaar verbindt tot één geheel.

In de kern zijn procenten een relatief begrip en is de procent een manier is om te standaardiseren. Relatief omdat een bepaalde hoeveelheid uitgedrukt wordt ten opzicht van een andere referentie hoeveelheid. Standaardiseren omdat die verhouding wordt omgezet naar een verhouding met 100. Oftewel, 5 van de 20, gestandaardiseerd tot 25 van de 100: 25%.
Net als bij breuken, waar het makkelijker is om bijvoorbeeld 0,4 en 0,4285.. te vergelijken dan 2/5 en 3/7, is het makkelijker om 25% en 33% te vergelijken dan '5 van de 20' met '10 van de 30'.

De procent, een relatief begrip dus. Bijvoorbeeld:

# voldoendes / # kinderen = deel voldoendes

We meten het aantal voldoendes af aan het aantal kinderen (in dit geval een nieuwe eenheid) dat meedeed aan de toets. Als je twee klassen wilt vergelijken die niet even groot zijn, dan spreekt het meer voor zich om naar het percentage voldoendes te kijken dan naar het absolute aantal voldoendes in de twee klassen. Bijvoorbeeld:
Klas A: 15 van de 20 voldoende, klas B: 20 van de 30 voldoende. Absoluut zijn er meer voldoendes in klas B (20 ten opzichte van 15), maar relatief meer in klas A (75% ten opzichte van 66,6%).
Voor klas A geldt immers:
15 /20 = 75 / 100 = 75 %  of 15/20 = 0.75
Nu komt naar voren dat er bij procenten sprake is van verschillende eenheden, dat maakt het misschien ook lastig. Het aantal kinderen in de klas (20 kinderen) is een eenheid, immers je meet het aantal voldoendes daar aan af. 100% is een eenheid voor de 75% voldoendes, net als 1 dat is voor de 0.75.

Met deze getallen kun je ook al een beetje spelen; 15 van de 20 kinderen een voldoende is 0.75 deel van de klas. 0.75 van 20 kinderen is dan weer 15 kinderen, én als 15 kinderen een voldoende hebben en dat is 0.75 deel, dan is 15:0.75 het aantal kinderen is de klas (20). Dat laatste is overigens gerelateerd aan een goed begrip van eenheden (als je weet hoeveel 3 appels kosten, dan deel je door 3 om de kosten van 1 appel te vinden..)

De algemene structuur is a / b = c komt vaak voor in toepassing van wiskunde, in bijvoorbeeld natuurkundige contexten als snelheid of dichtheid. Voor een hoeveelheid (h), een referentie hoeveelheid (r), het percentage (p) en de factor (f) is dus:
h / r = p / 100 = p %   of
h / r = f
Hier komt nu de ambiguïteit van breuken om de hoek, in h / r herkennen we de breuk als een deling (die nog moet worden uitgevoerd) en in f de uitkomst van die deling. Tegelijkertijd is f de factor tussen h en r (in klas A: 0.75 x 15 = 20). De breuk als deling en uitkomst van die deling wordt wel proces-object dualiteit genoemd en is uitvoerig beschreven in bijvoorbeeld het werk van Anna Sfard, waar we in de toekomst ook nog een post aan zullen wijden.

Je kunt de relatie tussen h, r en f beschrijven in drie vormen:
h / r = f
h = r x f
r = h / f
De verschillende opgaven aan het begin van deze post passen dan als volgt in de structuur:
h / r = f :      

hoeveel procent is 70 van de 200?                  70 / 200 = 35 / 100 = 0,35 of 35
40 % =                                                             40/100 = 0,4 
h = r x f:   
10 % van 500 =                                               10/100 x 500 = 50, immers 50/500=10/100

r = h / f  :    
20 mensen, 50% vh totaal. Totaal?                 20/ 0,5 = 40, immers 20/40 = 50/100


In de volgende post gaan we verder op de structuur van procenten en dan met name op procentuele toe en afname.

Deze post is onderdeel van een serie over procenten:

Deel 1: opgaven (over een aantal mooie introductie opgaven)
Deel 2: strategieën verbinden (over via lager percentage rekenen naar rekenen met een factor)
Deel 3: structuur (over de structuur h / r = f )
Deel 4: procentuele toe- en afname (over overgang van additieve naar multiplicatieve strategie)

zondag 19 februari 2012

Wiskunde en lego

Op deze blogpagina kwamen we een groeiende collectie van wiskunde met lego tegen.

Dat inspireerde tot een google-search en het resultaat was verbluffend.

Link naar blogpost over wetenschappelijk werk met lego als building blocks.
Bouwproblemen oplossen met wiskundig inzicht
Artikel over onderzoek naar leeropbrengsten bij gebruik lego in wiskunde en techniek lessen
Uitgebreide lijst met concrete lesideëen met lego, van kleuren leren en ordenen tot het rekenen met breuken.

Tot slot een reclame filmpje voor Lego serious play in education waar lego een meer onderwijskundige rol heeft, namelijk van het scheppen van een omgeving waarin leerlingen met elkaar samen werken en concepten in beelden omzetten.

maandag 13 februari 2012

Procenten deel 2: strategieën verbinden

Leerlingen rekenen met procenten aanvankelijk vaak door via 1% te rekenen. Moeten leerlingen bijvoorbeeld 15% van 600 euro uitrekenen, dan berekenen ze eerst 1%, dat is 6 en dan rekenen ze door naar de 15%. Dit kan met of zonder verhoudingstabel. Later rekenen leerlingen bijvoorbeeld direct via 'handige' percentages. Bijvoorbeeld 15% van 80 is te berekenen via 5%.

Euro
80
4
12
procent
100 %
5%
15 %

Op de middelbare school moeten leerlingen op een gegeven moment rekenen met procenten als een factor. Het percentage wordt omgezet in een decimaal getal, bijvoorbeeld een banksaldo over een bepaalde periode is te berekenen met 1,0330

Onze ervaring is dat leerlingen niet altijd zomaar afscheid nemen van hun '1%'-strategie en gaan rekenen met decimale factoren. Nu werkt in sommige situaties het rekenen via 1% of een andere percentage prima, maar er zijn ook problemen waarbij dat (bijna) niet meer lukt (bijvoorbeeld met de laatste opgave in onze vorige post). Uiteindelijk moeten leerlingen dus ook de 'factor-strategie' gaan omarmen en bij voorkeur komt die niet los naast de eerdere strategie te staan.
Immers met de oude strategie is de overgang naar onder andere exponentiële functies en rekenen met rente op rente niet mogelijk. Maar juist het aan elkaar relateren van verschillende strategieën kan tot niveauverhoging leiden. Met inzicht in het rekenen met procenten als factoren worden ook vraagstukken als in deel 1 van deze serie posts een stuk eenvoudiger. De kunst is dus om de verschillende strategieën te verbinden.

Een eerste belangrijke voorwaarde om die verbinding te maken is dat leerlingen breuken kunnen interpreteren als een deling (4 : 5 = 4/5). Dit blijkt voor leerlingen niet altijd vanzelfsprekend. Voor gehele getallen is verdelen vaak wel gekoppeld aan de bewerking delen, maar voor breuken is dat niet altijd meer zo.
Een tweede voorwaarde is dat leerlingen weten en begrijpen dat je bepaalde bewerkingen om kunt draaien. Bijvoorbeeld dat als je een getal eerst met 10 vermenigvuldigd en dan door 2 deelt, je hetzelfde resultaat krijgt als bij eerste delen door 2 en dan keer 10. Beide komt neer op het vermenigvuldigen met 5.

Vaak lukt het aan de hand van een concreet voorbeeld om te laten zien dat het rekenen via een lager percentage en het rekenen met een factor op hetzelfde neerkomt. Als je start met een concreet voorbeeld (15% van 80) dan kun je de bij de bijbehorende verhoudingstabel vragen wat je nu precies doet én of dat ook in één stap kan.


Euro
80
0.8
12
procent
100 %
1%
15 %

In de eerste stap deel je door 100 en daarna vermenigvuldig je met 15. Dat is hetzelfde als keer 15 gedeeld door 100 en dat komt neer op x 15/100 of x 0,15.
Of via de 5%: eerst delen door 20 en dan keer 3. Dat komt neer op x 3/20 en ook op x 0,15.
In de volgende post zullen we eerst ingaan op de structuren onder het rekenen met procenten en daarna verder gaan met het rekenen met procenten als factoren.


Deze post is onderdeel van een serie over procenten:

Deel 1: opgaven (over een aantal mooie introductie opgaven)
Deel 2: strategieën verbinden (over via lager percentage rekenen naar rekenen met een factor)
Deel 3: structuur (over de structuur h / r = f )
Deel 4: procentuele toe- en afname (over overgang van additieve naar multiplicatieve strategie)

zondag 12 februari 2012

Vi Hart

De laatste weken is de naam Vi Hart een aantal keer op mijn pad gekomen. Al goochelend vind je bij haar naam een aantal erg leuke filmpjes.

Op geheel eigen wijze legt ze een aantal wiskundige principes uit. Op zeer hoog tempo, associërend, visueel, luchtig en in korte tijd.

Ze heeft een eigen blog, maar je vindt de fimpjes ook op youtube.
Hier een voorbeeld van zo'n filmpje. Het sprak me erg aan, omdat ze het inkleuren van de driehoek van Pascal beschrijft, iets dat ik zelf ook graag tijdens een saaie les deed. En al spelend ontdekte ik inderdaad de 'regels' die ze beschrijft.

vrijdag 10 februari 2012

Procenten deel 1: opgaven

Procenten komen we bijna dagelijks tegen. Hoewel de onderliggende structuur niet zo ingewikkeld is vinden veel mensen het toch heel lastig om met procenten te rekenen. Onder andere reden om in een aantal posts aandacht aan dit onderwerp te besteden. Bovendien is het onderwerp redelijk afgebakend en leent het zich prima om een aantal didactische concepten als ambiguïteit, stuctuur, samenhang, en niveauverhoging verder toe te lichten.

We beginnen deze serie posts met een paar voor leerlingen lastige procent-problemen.

  1. Een winkelier verhoogt vlak voor de uitverkoop de prijs van een produkt met 20% om in de uitverkoop de prijs met 20% te kunnen verlagen zonder dat hij toe moet leggen op de oorspronkelijke prijs. Lukt dat zo?
  2. Een toerist koopt een souvenir in een winkel. Bij de kassa vraagt hij om eerst de teruggave van de BTW te berekenen en dan pas de sales-korting van 20%; hij krijgt dan meer BTW terug en is daarmee goedkoper uit is zijn redenering. Heeft de klant gelijk?
  3. In mijn dorp kwam ik onderstaand bord tegen. Van het hoofdkantoor had het filiaal doorgekregen dat er in de tweede ronde van de uitverkoop 80% korting op de oorspronkelijke prijs moest worden gegeven. In de eerste afprijsronde was alleen de nieuwe prijs over de oorspronkelijke geplakt. De verkoopster rekenden toen uit dat er nu 60% korting op de prijs van de eerste ronde moest worden gegeven. De grote vraag: hoeveel korting was er in de eerste ronde gegeven?

Lesidee: in een klas vertelde ik een van deze 'problemen' aan de leerlingen en vervolgens turfde ik op het bord de antwoorden van de klas. Ik kwam ongeveer uit op een 50-50 uitslag. Een mooie aanleiding om de verschillende manieren van oplossen met elkaar te vergelijken.

Bij de eerste vraag kan als vervolg gekeken worden naar een manier waarop dat wel zou kunnen.

In volgende posts zullen we onder andere ingaan op de structuur van het rekenen met procenten, het verbinden van oplossingsstrategieën en de ambiguïteit van procenten.

Deze post is onderdeel van een serie over procenten:

Deel 1: opgaven (over een aantal mooie introductie opgaven)
Deel 2: strategieën verbinden (over via lager percentage rekenen naar rekenen met een factor)
Deel 3: structuur (over de structuur h / r = f )
Deel 4: procentuele toe- en afname (over overgang van additieve naar multiplicatieve strategie)

woensdag 8 februari 2012

De balans in balans?

Voor het oplossen van lineaire vergelijkingen maken wiskundemethoden gebruik van het balansmodel. Aan de hand van dit model wordt uitgelegd dat je bij een vergelijking links en rechts hetzelfde mag doen.

Op de balans staan bijvoorbeeld zakjes met een onbekend aantal knikkers en losse knikkers, of verschillende soorten blokjes met een bekend en onbekend gewicht. Een voorbeeld is de vergelijking 4x + 1 = 9. In het blokjesmodel betekent dit dat vier blokjes met een onbekend gewicht (maar wel ieder blokje even zwaar) en een blokje van gewicht 1, gelijk is aan 9 blokjes van gewicht 1. Vervolgens wordt er op de balans met blokjes geschoven waardoor duidelijk wordt dat de vier blokjes samen gelijk zijn aan 8. En dus is het onbekende gewicht van het blokje: 2.
Hoewel het balansmodel veel gebruikt wordt, is het niet onomstreden. In de vakliteratuur zijn voor- en tegenstanders  te vinden. Als voordeel van het balansmodel wordt gezien dat het voor leerlingen heel concreet wordt gemaakt waarom links en rechts van een vergelijking hetzelfde mag worden gedaan. Als nadeel wordt gezien dat het model mank gaat bij negatieve getallen. Voorbeelden van zakjes met een onbekend aantal knikkers (Moderne Wiskunde) of blokjes met een onbekend gewicht (Getal & Ruimte) zijn lastig bij negatieve getallen.

In het gebruik van het balansmodel wordt vaak een belangrijke vraag vaak niet gesteld, namelijk: is de balans wel in balans? In het blokjes- en knikkermodel wordt er stilzwijgend vanuit gegaan dat de vergelijking één oplossing heeft. Maar in het algemeen is dat niet zo. En meer algemeen zou de vraag dan misschien niet zozeer moeten zijn wat de oplossing is van de vergelijking (want dat suggereert dat er precies 1 oplossing is), maar meer of er waarden van x zijn die aan de vergelijking voldoen.
In mijn onderzoek vroeg ik leerlingen de vergelijking 2(3x + 2) = 3(2x - 1) + 7 op te lossen. De haakjes wegwerken levert 6x + 4 = 6x + 4 (en dus zijn alle reële getallen oplossing van deze vergelijking). Bijna alle leerlingen wisten de haakjes goed weg te werken, maar slechts een enkele leerling wist de juiste conclusie te trekken. De verwachting dat de laatste regel in het oplossingsproces ‘x = getal’ moet zijn, bleek heel sterk.  Zo sterk dat veel leerlingen uit de regel 0 = 0 concludeerden x = 0.

Een bredere benadering van het balansmodel, met een meer open vraagstelling, laat ruimte open voor vergelijkingen met geen of oneindig veel oplossingen. Ook biedt deze manier van vragen ruimte om verbindingen te leggen naar het snijgedrag van lijnen. Lijnen kunnen snijden, maar ook evenwijdig lopen en samenvallen. 

zondag 5 februari 2012

Verbanden zoeken

Op de blog Continuous everywhere, but differentiable nowhere, vonden we deze post.

De post gaat over het vragen van oud-leerlingen om iets te vertellen in de klas. Op zich een goed idee. We vonden de post erg interessant om het wat één van deze oud-leerlingen had gezegd. ...
Namelijk dat het niet erg is om te worstelen met wiskunde; dat dat er juist bij hoort. En .. dat goed zijn in wiskunde te maken heeft met zelfvertrouwen. En misschien nog wel belangrijker de opmerking dat wiskunde over meer gaat dan de procedures.

Zouden deze uitspraken betekenen dat we in het onderwijs niet genoeg uitleggen aan leerlingen waarom we die vervelende "explain" of "waarom" vraag stellen?
En is dat stellen van de waarom vraag de meest efficiënte manier? Moeten we meer expliciete aandacht besteden aan de verbanden? Juist als we bedenken dat onderzoek van bijvoorbeeld Femke Nijland (zie deze post) laat zien dat de op produkt gerichte cultuur in de klas heel sterk kan zijn. En de opmerking van deze oud-leerling  verwoordt nu net dat de gerichtheid op de procedures niet effectief is:
"He [oud-leerling] stopped looking at each test as something that needed to be crammed for the night before. Instead, each night he would work on understanding the material. And when doing this, he saw connections." (citaat uit de post van Continuous everywhere, but differentiable nowhere) 

donderdag 2 februari 2012

Compartmentalization

In mijn onderzoek heb ik de term compartmentalization (met onze vertaling: verkokering) gebruikt voor het fenomeen dat ik in schoolboeken tegenkwam (zie post). Een van de inspiratiebronnen voor de keuze voor dat woord is een artikel van Yrjö Engeström geweest: Non scolaer sed vitae discimus: Toward overcoming the encapsulation of school learning.

In dit artikel beschrijft Engeström onder andere hoe er verschillende modellen worden gebruikt voor het uitleggen van de "phases of the moon" en "lunar eclipse". Hij heeft twee problemen met deze modellen. Als tweede noemt hij dat het model niet door de leerlingen zelf wordt gemaakt, maar in zijn uiteindelijke vorm wordt voorgeschoteld. Vooral het door hem als eerste probleem geformuleerde triggerde me. Engeström verwoordt dat als volgt:
"First, the relationship between the phases of the moon (especially the new moon) and the lunar eclipse is not problematized in any of the textbooks. The lunar eclipse is presented with the help of an equally simple and graphic diagram as the one used in connection with the phases of the moon. But it is presented as the next topic, neatly separated from the discussion of the phases of the moon. This is a prime example of the “discrete tasks” Levy (1976) named as the basic form of compartmentalization. The connection is never worked out. Obviously there is no automatic guarantee that such connections are realized in everyday learning outside school either."
Het voorbeeld geeft wat mij betreft duidelijk aan waarom verkokering ongewenst is. En het heeft duidelijke overeenkomsten met wat ik verkokering van het vermenigvuldigen van breuken heb genoemd.
Het voorbeeld laat ook zien dat verkokering in allerlei soorten onderwijs kan voorkomen. In mijn onderzoek kwam het voor in een 'realistische' methode. Het voorbeeld van Engeström gaat over veel meer traditioneel onderwijs.

dinsdag 31 januari 2012

Deelbaarheid door 9

Als een getal deelbaar is door 9, dan is de som van zijn cijfers dat ook.
 Sterker nog de som van de cijfers geeft bij delen door 9 dezelfde rest als wanneer het getal zelf door 9 wordt gedeeld.

Even een testje: 8760 : 9 = 973 rest 3 en (8+7+6+0) : 9 = 21 : 9 = 2 rest 3. KLOPT!!

Nu is deze post geen pleidooi om deze inmiddels steeds minder bekende 'deelbaarheidsregel' een verplicht onderdeel van het (reken-)wiskunde curriculum te maken. Ik schrijf er hier over uit een soort nostalgische redenen--ik weet nog dat mijn leraar in klas 6 van de basisschool probeerde uit te leggen hoe het zat; begreep er toen niets van maar vond het wel errug interessant--, en omdat ik wat aardige filmpjes tegenkwam op internet die hier gebruik van maken. Ik hoop dat het u op ideëen brengt.....

Hoe zit dat nu ..
Je kunt de boel wat formeler bekijken: een getal als bijvoorbeeld 81 kun je schrijven als
8 * 10 + 1 = 8 * (9 +1) + 1 = 8 * 9 + 8 + 1.

In zijn algemeenheid zou je kunnen zeggen dat het getal ab te schrijven is als
10a + b = 9a + a + b

Deel je door 9 dan houdt je 8 + 1 of a + b over.

Meer informeel zou je kunnen zeggen dat als je ergens 9 bij optelt, je er ook voor kunt kiezen om er 10 bij op te tellen en er dan weer 1 vanaf te halen. Of te wel: het tiental gaat 1 omhoog en de eenheid 1 omlaag. Samen blijft het evenveel. Beginnend bij 9 is dat totaal dus altijd 9. Dit gaat in ieder geval op tot 90, voor hogere getallen moet je nog even wat verder redeneren.

Op het honderd-veld is dit overigens heel mooi te zien aan de veelvouden van 9. En eventueel kleur je alle getallen met rest 1 groen, rest 2 blauw, rest 3 geel, enz.

Toepassingen (in de breedste zin van het woord)
Deze eigenschap van delen door 9 of deelbaarheidsregel kwam ik zo maar ineens op heel verschillende plekken tegen..

Onze aannemer vertelde vol trots toen we het over rekenen hadden, dat hij vroeger de negenproef had geleerd. Voor het hoofdrekenen een makkelijke controle van de uitkomst.

De tafel van 9 op je vingers
Bij de tafel van 9 is het leerlingen vast wel eens opgevallen dat de cijfers samen altijd 9 zijn: 1 + 8 = 9, 2 + 7 = 9 , enz. Nu hebben we 10 vingers, negen vingers en één vinger om aan te geven welk veelvoud we hebben moeten de bedenkers van de volgende truc/ezelsbrug gedacht hebben......

Gedachtenlezen
Tot slot lijkt het me een mooie uitdaging voor leerlingen in het VO om onderstaande truc te doorgronden:

woensdag 25 januari 2012

Ambiguïteit: de rol van variabelen (2)

Variabelen kunnen verschillende rollen hebben. Zo kan een x staan voor één enkel, maar onbekend getal. Maar x kan ook staan voor verschillende waarden. In mijn promotieonderzoek heb ik leerlingen gevraagd de volgende vergelijking op te lossen 2 (3x + 2) = 3(2x + 1) + 7.  Als de haakjes zijn weggewerkt, dan komt er te staan 6x + 4 = 6x + 4. Het besef dat deze vergelijking klopt welk getal je ook neemt voor x bleek heel lastig voor VWO-leerlingen. De overgrote meerderheid wist de haakjes goed weg te werken, bracht de x-en naar links en de getallen naar de rechterkant van het =-teken. Vervolgens kwam er 0 = 0 te staan, en bleek het moeilijk om daar de betekenis van te zien.

In een aanvullende studie naar deze vergelijking legde ik leerlingen naast deze vergelijking, nog twee andere vergelijkingen voor. De tweede was 2(3x + 2) = 3(2x + 1) + 5 die 6x + 4 = 6x + 8 geeft na het wegwerken van de haakjes en dus geen oplossingen heeft. En de derde vergelijking 2(3x + 2) = 2(2x + 1) + 8 waar x = 3 uitkomt.

De laatste vergelijking ging veruit het beste: daar gebeurt namelijk precies dat wat leerlingen verwachten en eindigt de laatste regel op x = getal. De tweede vergelijking, waar die eindigt op 6x + 4 = 6x + 8, of 4 = 8, ging al een heel stuk minder goed. Deze druiste al aardig in tegen de verwachting dat de laatste regel x = getal moet zijn. Het grootste probleem bleek toch de eerste.

De moeilijkheid van deze vergelijking kan worden verklaard vanuit het idee van verschillende rollen van de variabele x. De verwachting dat de laatste regel x = getal moet zijn, is gebaseerd op het idee dat x één getal is, een onbekende die gevonden moet worden. Dat is een andere rol dan in de situatie waar links en rechts van het =-teken hetzelfde komt te staan. Want in die situatie heeft x niet een vaste (maar nog onbekende) waarde, maar kan x voor veel verschillende waarden staan. Voor leerlingen is dat een grote overgang.

Wat te doen?

Een abstract verhaal in de klas over de ambiguïteit van variabelen lijkt me geen goed idee. Wel denk ik dat het verstandig is om bij het oplossen van vergelijkingen koppelingen te maken naar de betekenis. Die betekenis kan zijn wat voor getallen kunnen we voor x invullen opdat deze vergelijking klopt. Dit geeft de mogelijkheid om het te hebben over een, of meerdere oplossingen of geen oplossingen.

Ook kan er een koppeling worden gelegd naar het snijgedrag van lijnen zoals wat kunnen lijnen doen (snijden, evenwijdig lopen, samenvallen) en wat voor type lineaire vergelijking hoort daar dan bij (1 oplossing, 0 oplossingen, alle reële getallen als oplossing). Deze koppeling geeft leerlingen handvaten om conclusies te trekken uit expressies als 0 = 0.



maandag 23 januari 2012

Citaten van Poincaré en Fourier

Ooit vond ik deze twee citaten van zeer bekende wiskundigen:
"Mathematics is the art of giving the same name to different things" J.H. Poincaré
en
"Mathematics compares the most diverse phenomena and discovers the secret analogies that unite them". Jean Baptiste Joseph Fourier
Mooie voorbeelden van kracht van wiskunde en de ambiguiteit die daarin voorkomt.

zondag 22 januari 2012

Ambiguïteit in de wiskunde

In eerdere posts (het = teken en de rol van variabelen) hadden we het al over ambiguïteit.
Een heel heldere uiteenzetting over dit begrip heeft in Euclides gestaan in een stuk van de hand van Ronald Meester (pagina 26 van de pdf).

Meester legt o.a. door referenties naar het werk van William Byers een aantal voorbeelden van ambiguïteit uit en geeft aan wat het belang is van ambiguïteit voor de wiskunde.

Het stuk is zeer de moeite van het lezen waard. Hier een tweetal citaten uit het stuk om u lekker te maken:

"Byers laat in zijn boek zien dat wiskunde vooral gaat over ambiguïteit, en veel minder over precisie en logica; de kracht (en schoonheid) van de wiskunde wordt vooral bepaald door de manier waarop ze met ambiguïteit om weet te gaan. Het beschouwen en oplossen van een ambiguïteit is de kern van het bedrijven van wiskunde."
"Dit is niet makkelijk in de praktijk te brengen, dat geef ik onmiddellijk toe, maar dat mag geen reden zijn om het niet te doen. Wiskunde wordt beduidend leuker wanneer je op een speelse manier leert om te gaan met ambigue situaties dan wanneer ze in een ‘definitie-keurslijf ’ wordt gepropt waarin ze zich niet kan ontwikkelen."


Bron: Ronald Meester. In reactie op Hessel Pot. Euclides 85/2 pp 76-77

woensdag 18 januari 2012

Ambiguïteit: de rol van variabelen

In de literatuur is veel te vinden over waarom wiskunde moeilijk wordt gevonden door veel mensen. Een van de thema’s die daar een rol in speelt is ambiguïteit. Zo is de breuk ¾ zowel de deling van 3 door 4, als het resultaat van die deling. Afhankelijk van de situatie is het handig om ¾ als een deling te zien of juist als een zelfstandig object. Een ander voorbeeld is de expressie 2x + 3. Dit is zowel de optelling van 2x en 3, als het resultaat van die optelling. In onze onderzoeken hebben we gezien dat leerlingen worstelen met deze verschillende betekenissen.

Verschil in betekenis wordt in de literatuur ook beschreven met betrekking tot variabelen. Vergelijk het verschil in betekenis van x in de vergelijkingen x + 3 = 5 en y = ax + b. In de eerste is x een getal met een nog onbekende waarde, een onbekende. In de tweede vergelijking, de algemene vergelijking van een lijn, heeft x een andere rol. Hier is x niet een waarde die we nog niet kennen, geen onbekende, maar staat x voor zomaar een getal.

Een docent informatica uit het HO vertelde dat zijn eerstejaars studenten moeite hadden met die verschillende rollen van variabelen. Een bepaalde relatie (prefix zijn, d.w.z. een ononderbroken beginstuk zijn) werd weergegeven met het symbool ≤. Vervolgens moesten studenten eigenschappen bewijzen van die relatie. Ze verwarden daarbij de betekenis van het symbool ≤ ; ze dachten in de relatie tussen getallen (kleiner dan) in plaats van de betekenis die zojuist in een definitie aan dat symbool was toegekend (namelijk: prefix zijn).

We denken dat leerlingen en studenten kunnen worden geholpen in hun worsteling met ambiguïteit als die verschillende rollen worden besproken en als duidelijk wordt hoe die verschillende betekenissen met elkaar samenhangen.

Wordt vervolgd…

dinsdag 17 januari 2012

Wiskunde in het donker

De afgelopen jaren --en vooral tijdens mijn promotie als je daar ook de tijd voor neemt-- heb ik veel nagedacht over wat wiskunde nu voor mij is, wat het betekent om wiskundige te zijn, te doen, enzovoort. Vragen waarop je het antwoord natuurlijk nooit helemaal in woorden kunt uitdrukken. Maar af en toe doe je wel een poging net als vele anderen.

Andrew Wiles spreekt tot de verbeelding en op youtube heb ik met veel belangstelling de documentaire die over hem is gemaakt bekeken. (De link staat onderaan deze post).

De documentaire begint met Andrew Wiles die het volgende zegt:
"Perhaps I could best describe my experience of doing mathematics in turns of entering a dark mansion. One goes into the first room and it's dark, really dark. One stumbles around bumping into the furniture. And gradually you learn where each piece of furniture is. And finally after six months or so you find the light switch, you turn it on and suddenly it is all illuminated. You can see exactly where you were."
Voor mij is dit citaat veelbetekend. Ik heb het daarom ook in mijn proefschrift voor mijn inleiding gezet. Ten eerste laat het zien dat wat zo'n voldoening kan geven aan wiskunde: de zoektocht en wat doorzetten je oplevert. Het beetje bij beetje verder komen. Een schril contrast met de geplaveide wegen die leerlingen soms krijgen aangeboden (zie bv post over kritiek op schoolboeken van Dan Meyer).
Zo is er ook een mooi citaat van W.S. Anglin:
"Mathematics is not a careful march down a well-cleared highway, but a journey into a strange wilderness, where the explorers often get lost. Rigor should be a signal to the historian that the maps have been made, and the real explorers have gone elsewhere."
Ten tweede verwoordt het iets dat Anna Sfard reïficatie noemt: de kwartjes vallen en ineens wordt alles duidelijk. Deze stap is nodig om tot niveauverhoging te komen; om voort te kunnen bouwen op de eerdere wiskunde die je hebt geleerd. Het belang van het herkennen van de structuur.
En dat is zelfs bij de meest elementaire wiskunde zo. Hoe meer ik met de didactiek van het rekenen bezig ben, hoe meer ik (her) ontdek in die basis, en waardeer hoe mooi het in elkaar zit.

Hier de documentaire over "Fermat's last theorem" en het werk van Andrew Wiles

of via deze link

zondag 15 januari 2012

Tussen strategie en truc

Met een meisje uit groep 5 had ik een gesprek over het leren van de tafels. Ze legde uit hoe ze 8 x 6 uitrekent. Ze had daar een handige truc voor geleerd, zo vertelde ze, en liet zien hoe ze dat gaat.

“Eerst doe je 2 x 6,” zei ze. “Dat is makkelijk, dat is 12. Dan maak je van die 8 in het sommetje 8 x 6 een 4 van de 8. Vervolgens doe je 2 x 12. Dat is eh, even denken, dat is 24. En dan maak je van die 4... eh…nou weet ik het even niet, wordt dat dan een 2 of een 4? Ik denk een 4, want twee keer vier is acht. Dus dan moet je nog 24 x 4. Maar dat kan ik niet uitrekenen!”

Natuurlijk is het zomaar een gesprekje, met maar 1 leerling. Toch denk ik dat dit voorbeeld een probleem in het huidige rekenonderwijs illustreert. Geeke heeft in haar proefschrift laten zien dat het rekenonderwijs verkokerd is. Daarmee bedoelt ze dat er getal- en gevalspecifieke strategieën worden aangeleerd. Het gevaar hiervan is dat rekenen een soort trucjes uit je hoofd leren wordt met voor elk sommetje een andere truc. Waarom de trucjes werken is dan niet meer zo duidelijk.

De strategie waar deze leerling aan refereert bij het uitrekenen van 8 x 6 gaat om het verdubbelen. Een bekende strategie, die zeker zijn waarde heeft. Maar de waarde van die strategie wordt vooral bepaald door het begrip dat erbij hoort. Echt goed begrijpen dat vermenigvuldigen met 8 overeenkomt met 3 keer verdubbelen, is nog niet zo eenvoudig. Daarvoor moet je snappen dat 8 = 2 x 2 x 2, en dat in plaats van in een keer x 8 doen hetzelfde is als x 2, dan nog eens x 2 en dan nog eens. Het meisje in dit voorbeeld had die relatie nog niet gelegd. En als die relatie er niet is, dan verwordt die verdubbelingsstrategie tot een truc, die zomaar fout kan gaan.

Statistiek volgens Guido Weijers

Gisteren keek ik op televisie naar Guido Weijers. Er kwam een erg leuk stukje statistiek langs, over de misconcepten die je daarbij kunt hebben. Jammer dat ik op dit moment niet voor de klas sta ....


(het fragment begint bij 54:07, directe link naar start fragment hier)

vrijdag 13 januari 2012

Schoolboeken in de ogen van Dan Meyer

Al een hele poos geleden kwam ik een TED filmpje tegen van Dan Meyer.

Op een moment in dat fimpje zegt hij ongeveer het volgende . .
"I hope that you can see .... that what we are  doing here is that we are taking a compelling question, a compelling answer. .. but we are paving a smooth straigth path from one to the other and congrateluating our students on how well they can step over the small cracks in the way. "  dat zijn punt redelijk samenvat.

Hij laat op zeer humoristische wijze zien dat de manier waarop opgaven in de Amerikaanse schoolboeken zijn opgebouwd, leerlingen precies stapje voor stapje voorschrijven wat ze moeten doen. Hij vat het resultaat als volgt samen: lack of initiative - lack of perseverance - lack of retention - aversion to word problems - eagerness for formula. Hij noemt dit "impatient problem solving". Leerlingen leren niet blijvend, ze zijn altijd op zoek naar een formule die ze in moeten vullen, weinig geduld als het even niet lukt, enzovoort.

Zijn oplossing is om de opgaven uit te kleden tot de essentie van het probleem, zonder de gegevens alvast te geven. Ook het bedenken van wat je nodig hebt om een probleem op te lossen vindt hij een belangrijk onderdeel voor het wiskundecurriculum. En geeft hij aan: "be less helpfull". En dat is natuurlijk best lastig als je als docent het onderwijs in gaat omdat je leerlingen juist wilt helpen.

Het punt dat Meyer maakt is ook herkenbaar in het Nederlandse onderwijs en ligt misschien wel dicht tegen de houding die ook in het onderzoek van Femke Nijland naar voren kwam (zie onze eerdere post over haar proefschrift). Ook in ons onderzoek hebben we gemerkt dat leerlingen opgaven die even buiten de gebaande paden lagen met veel moeite wisten te beantwoorden of helemaal niet.
Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...