Procenten deel 3: structuur

Sommen over procenten hebben vaak één van de volgende vormen of varianten daarop:

• 40 % = . . . .
  een decimaal getal 0,4 of een breuk 2/5
• 10 % van 500 =
  uitrekenen van een deel van een geheel
• hoeveel procent is 70 van de 200?     
  deel-geheel omzetten in percentage
• 20 mensen, dat is 50% van het totaal. Totaal?             
  terugrekenen naar 100 %
• Hoeveel is de prijs zonder BTW?                                
  terugrekenen naar 100 %
• de prijs is eerst 80 en nu 100. Hoeveel procent erbij? 
  procentuele toe- of afname bepalen
• Je krijgt 2,6 % rente op 300 euro. Hoeveel is dat? 
  toe- of afname berekenen 

Vaak staan deze sommen een beetje los van elkaar en is er weinig aandacht voor de wiskundige structuur die onder het rekenen met procenten ligt en die deze sommen met elkaar verbindt tot één geheel.

In de kern zijn procenten een relatief begrip en is de procent een manier is om te standaardiseren. Relatief omdat een bepaalde hoeveelheid uitgedrukt wordt ten opzicht van een andere referentie hoeveelheid. Standaardiseren omdat die verhouding wordt omgezet naar een verhouding met 100. Oftewel, 5 van de 20, gestandaardiseerd tot 25 van de 100: 25%.
Net als bij breuken, waar het makkelijker is om bijvoorbeeld 0,4 en 0,4285.. te vergelijken dan 2/5 en 3/7, is het makkelijker om 25% en 33% te vergelijken dan '5 van de 20' met '10 van de 30'.

De procent, een relatief begrip dus. Bijvoorbeeld:

# voldoendes / # kinderen = deel voldoendes

We meten het aantal voldoendes af aan het aantal kinderen (in dit geval een nieuwe eenheid) dat meedeed aan de toets. Als je twee klassen wilt vergelijken die niet even groot zijn, dan spreekt het meer voor zich om naar het percentage voldoendes te kijken dan naar het absolute aantal voldoendes in de twee klassen. Bijvoorbeeld:

Klas A: 15 van de 20 voldoende, klas B: 20 van de 30 voldoende. Absoluut zijn er meer voldoendes in klas B (20 ten opzichte van 15), maar relatief meer in klas A (75% ten opzichte van 66,6%).

Voor klas A geldt immers:

15 /20 = 75 / 100 = 75 %  of 15/20 = 0.75

Nu komt naar voren dat er bij procenten sprake is van verschillende eenheden, dat maakt het misschien ook lastig. Het aantal kinderen in de klas (20 kinderen) is een eenheid, immers je meet het aantal voldoendes daar aan af. 100% is een eenheid voor de 75% voldoendes, net als 1 dat is voor de 0.75.

Met deze getallen kun je ook al een beetje spelen; 15 van de 20 kinderen een voldoende is 0.75 deel van de klas. 0.75 van 20 kinderen is dan weer 15 kinderen, én als 15 kinderen een voldoende hebben en dat is 0.75 deel, dan is 15:0.75 het aantal kinderen is de klas (20). Dat laatste is overigens gerelateerd aan een goed begrip van eenheden (als je weet hoeveel 3 appels kosten, dan deel je door 3 om de kosten van 1 appel te vinden..)

De algemene structuur is ^a / _b = c komt vaak voor in toepassing van wiskunde, in bijvoorbeeld natuurkundige contexten als snelheid of dichtheid. Voor een hoeveelheid (h), een referentie hoeveelheid (r), het percentage (p) en de factor (f) is dus:

^h / _r = ^p / ₁₀₀ = p %   of

^h / _r = f

Hier komt nu de ambiguïteit van breuken om de hoek, in ^h / _r herkennen we de breuk als een deling (die nog moet worden uitgevoerd) en in f de uitkomst van die deling. Tegelijkertijd is f de factor tussen h en r (in klas A: 0.75 x 15 = 20). De breuk als deling en uitkomst van die deling wordt wel proces-object dualiteit genoemd en is uitvoerig beschreven in bijvoorbeeld het werk van Anna Sfard, waar we in de toekomst ook nog een post aan zullen wijden.

Je kunt de relatie tussen h, r en f beschrijven in drie vormen:

^h / _r = f

h = r x f

r = ^h / _f

De verschillende opgaven aan het begin van deze post passen dan als volgt in de structuur:

^h / _r = f :      

hoeveel procent is 70 van de 200?                  70 / 200 = 35 / 100 = 0,35 of 35

40 % =                                                             40/100 = 0,4 

h = r x f:   

10 % van 500 =                                               10/100 x 500 = 50, immers 50/500=10/100

r = ^h / _f  :    

20 mensen, 50% vh totaal. Totaal?                 20/ 0,5 = 40, immers 20/40 = 50/100

In de volgende post gaan we verder op de structuur van procenten en dan met name op procentuele toe en afname.

Deze post is onderdeel van een serie over procenten:

Deel 1: opgaven (over een aantal mooie introductie opgaven)
Deel 2: strategieën verbinden (over via lager percentage rekenen naar rekenen met een factor)
Deel 3: structuur (over de structuur ^h / _r = f )
Deel 4: procentuele toe- en afname (over overgang van additieve naar multiplicatieve strategie)