Procenten deel 4: procentuele toe- en afname

In de tweede post hebben we laten zien dat een belangrijke stap voor het rekenen met procenten in het voortgezet onderwijs is om de 1% strategie (zoals we hem voor het gemak hebben genoemd) te verbinden met het zien van procentrekenen als rekenen met factoren. In de vorige post hebben we meer naar de structuur van die factor gekeken en de procent benoemd als het relatief en gestandaardiseerd vergelijken van hoeveelheden.

In deze post besteden we aandacht aan een andere belangrijke stap: het zien van een percentuele toe- of afname in termen van het vermenigvuldigen met een factor. Aanvankelijk zullen leerlingen namelijk vaak als ze een toename moeten berekenen de toename apart berekenen en die daarna bij de oorspronkelijke hoeveelheid optellen. Bijvoorbeeld:

Vorig jaar zaten er 400 leerlingen op school. Dit jaar zijn dat er 25% meer.
Je rekent dan 25% van 400 uit, dat is 100. Dit jaar zijn er dan 400+100=500 leerlingen.
Je zou toe willen naar 1.25 x 400 = 500.

 Ik heb gemerkt dat het leerlingen helpt om te laten zien hoe deze twee manieren van rekenen samenhangen; ze de structuur te laten zien. Immers,

0.25 x 400 + 400 = 0.25 x 400 + 1 x 400 = 1.25 x 400.

Hetzelfde kun je doen voor procentuele afname; Bij een afname van het aantal leerlingen met 25% kan eerst de absolute afname worden berekend, die dan vervolgens wordt afgetrokken van het oorspronkelijke aantal, maar kan ook in één keer met een factor worden gerekend.

400 - 0.25 x 400 = 1 x 400 - 0.25 x 400 = 0.75 x 400

Je zou kunnen zeggen dat je van een additieve benadering naar een multiplicatieve benadering gaat.

Nu zijn er altijd leerlingen die deze multiplicatieve manier geen meerwaarde vinden hebben. Mijn ervaring is dat het volgende voorbeeld veel overredingskracht heeft. Ik laat ze uitrekenen wat het saldo op een rekening is na een jaar met een gegeven beginsaldo en rentepercentage. Dan van de eerste twee jaar. En dan ... over 30 jaar.

Een veel voorkomend type opgave bij dit onderwerp is het omgekeerde: namelijk om uit te rekenen om hoeveel procent toe- of afname het gaat. Ook dan kun je de additieve en multiplicatieve strategie aan elkaar koppelen. Bijvoorbeeld:

Het aantal leerlingen op een school neemt toe van 400 naar 440 leerlingen.
- Je kunt eerst de absolute toename berekenen: 40 leerlingen en dat omzetten in een percentage: 40 / 400 = 10 / 100 = 10%
- Je kunt er ook voor kiezen om die 440 te relateren aan de 400: 440 / 400 = 1,1. De 1 geeft de oorspronkelijke hoeveelheid van 400 leerlingen weer en daar komt dus 10% (of 0,1 deel) bij.

 Het aantal leerlingen op een school neemt af van 400 naar 380 leerlingen.
-Je kunt eerst de absolute afname berekenen (20 leerlingen) en dat omzetten in een percentage: 20 / 400 = 5 / 100 = 5%
-Je kunt berekenen welk deel 380 van 400 is: 380 / 400 = 0.95. De afname is dan 0.05 of 5%, immers de eenheid (1) is hier 400 leerlingen. 

Hier komt duidelijk naar voren dat je een absolute afname en een relatieve afname hebt. Het is soms jammer dat deze termen vaak later bij wiskunde worden gebruikt omdat ze voor leerlingen veel duidelijk kunnen maken. Ook speelt bij procentuele afname nog wel eens wat gerommel met de min, dat wordt duidelijker als leerlingen de structuur doorzien.

De multiplicatieve factor heeft niet alleen als voordeel dat het de weg opent naar opgaven als het berekenen van 30 jaar rente (op rente). Het kan ook gebruikt worden voor een discussie over de volgorde van bewerkingen.  De voorbeeld opgave uit de eerste post:

Een toerist koopt een souvenir in een winkel. Bij de kassa vraagt hij om eerst de teruggave van de BTW te berekenen en dan pas de sales-korting van 20%; hij krijgt dan meer BTW terug en is daarmee goedkoper uit is zijn redenering. Heeft de klant gelijk?

heeft nu een makkelijke oplossing: je vermenigvuldigt het bedrag eerst met de BTW factor en dan de kortingsfactor en dat geeft hetzelfde resultaat als eerst met de kortingsfactor vermenigvuldigen en dan de BTW factor.

Een andere manier om naar de opgave te kijken is om het begrip eenheid expliciet te maken. Dat wordt onderwerp van de volgende post in deze serie.

Deze post is onderdeel van een serie over procenten:

Deel 1: opgaven (over een aantal mooie introductie opgaven)
Deel 2: strategieën verbinden (over via lager percentage rekenen naar rekenen met een factor)
Deel 3: structuur (over de structuur ^h / _r = f )
Deel 4: procentuele toe- en afname (over overgang van additieve naar multiplicatieve strategie)